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파동의 간단한 예는 팽팽한 기타 줄을 뽑는 것에서 나온다.
줄 양쪽 끝에 연결되어 있기 때문에 줄이 위아래로 진동하여 선 파형을 형성합니다.
수학자에게 문제는 진동하는 끈의 가능한 움직임을 묘사하는 것이다. 17세기 말에 수학자 JosephSauveur에 의해 처음 발견된 가장 단순한 움직임은 기본 모드와 그것의 고조파로 알려진 수직 진동이다. 현대적인 형태에서, 이러한 진동은 포인트 t의 한 끝에서 일련의 길이 π에 이르는 거리의 수직 변위 u(x, t)에 의해 쉽게 설명된다. u의 관점에서 기본 모드를 위한 공식이다.
여기서 c는 파도가 줄을 따라 이동할 수 있는 속도이다. 분명히 c는 문자열에서 단위 길이당 질량으로 나눈 장력의 제곱 근과 같다. 그림 14에 표시된 것처럼, 문자열은 시간에 따라 진동하며, T=2.0cm/c기간 후에 원래 위치로 돌아갑니다. 따라서, 문자열에서 발생하는 소리의 주파수는 ==1TT=c/(2f)이다. 기타 연주자들이 잘 알고 있듯이, 장력이 클수록 속도 c가 더 커지고, 따라서 주파수는 더 높아진다.
진동하는 문자열의 기본 모드는 시간에 고정된 유일한 포인트가 끝점인 단일 주파수에서의 단순 진동입니다. t=0~t=π/c의 절반 기간이 표시됩니다. 이 동작에서는 재료 점이 수직으로만 이동합니다. 그런 다음 움직임은 위치 x에서 처음 발견된 재료 포인트의 시간 t당 높이를 설명하는 u(x, t)함수에 의해 완전히 결정됩니다.
기본 모드만 가능한 문자열 동작이 아닙니다. 문자열의 고조파는 주파수가 기본 주파수 4V의 배수인 변동입니다. 다음은 해당됩니다.
움직임의 시간 구조가 공간 구조와 밀접하게 관련되어 있음을 관찰한다. 실제로 그림 15에서 두번째 고조파는 끝점 사이에 하나의 노드를 가지고 있음을 알 수 있습니다(노드는 모션 중 고정된 상태를 유지하는 포인트임). 세번째 고조파에는 두개의 노드가 있고 k‐고조파에는(k-1)노드가 있습니다.
진동 문자열의 기본 모드 조화는 기본 주파수의 정수 배수인 단일 주파수를 가진 용액이다. 세개의 첫번째 고조파가 표시됩니다(k=2,3,4에 해당). k‐h모드는 k/k/k1주파수에서 진동하며(k-1)노드가 있습니다.
이 초기의 수학적 통찰력은 엄청난 음악적 발전의 시기에 일어났다. Bernoulli와 오일러가 고조파의 조합을 이해하느라 바빴을 때, JohannSebastianBach또한 고조파 변조를 실험하고 있었습니다. 잘 자란 클라비어에서, 바흐는 모든 키로 연주할 수 있도록 12개의 같은 중간대로 옥타브를 조율했습니다. 고조파 음을 더하고 빼는 문제는 수학자와 음악가 모두에게 중요한 문제였다.
기본 모드와 해당 고조파의 움직임은 초기 형상에 매우 특별한 형태가 있어야 한다. 문자열의 초기 모양이 이러한 모드 중 하나가 아니면 어떻게 됩니까? 예를 들어 바흐 시대의 주요 악기인 하프시 코드의 줄은 깃펜으로 뽑아 내며, 줄의 초기 모양은 삼각형이다. 해제된 문자열은 어떻게 이동합니까? 발의 안에 대한 일반적인 공식은 무엇입니까? 100년이 넘는 세월이 흘렀고 18세기의 가장 위대한 인물들도 이 질문에 완전히 대답했다. 바흐가 현대 서양 음악의 기본 규칙을 정하고 있을 때 오일러, 베르누엘리, 그리고 데오스 베르는 현대 과학에 혁명을 일으킨 부분 미분 방정식의 이론의 기초를 쌓았습니다.
1747년 JeanLeRondD’Alembert는 문자열의 수직 변위 u(x, t)가 부분 미분 방정식의 솔루션이라는 것을 보여 주었다.
