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우리는 부분 파생 모델을 위한 특별한 상징인 사랑스러운 곱슬 머리’d’를 소개했다.
함수의 부분 파생어는 다른 모든 것들이 일정하다고 가정하는 인수와 관련된 함수의 파생어이다.
그것은 파동 방정식은 실제로 연속체를 약간 위장한 버전이다. 방정식의 왼쪽은 문자열에 있는 재료 점의 수직 가속도를 나타내는 반면, 오른쪽은 늘어난 문자열에 의해 그 점에 작용하는 수직 힘을 나타낸다. 이것은 방정식에 선형적으로 나타나는 변수입니다. 이 속성은 근본적인 것으로 그 방정식에 대한 해결책을 제시하는 것을 가능하게 한다. 정말로 ‘D’는 파동 방정식의 일반적인 해결책은
여기서 f와 g는 임의의 함수이다. 물리적으로, 이 솔루션은 다음과 같이 해석될 수 있습니다. 파장 방정식의 모든 용액은 두 파동의 중첩, 하나는 형상 f, 다른 하나는 형태 g이동으로 이해될 수 있습니다. 왼쪽의 g=0인 예는 그림 16에 나와 있습니다.
16.D4메이버트 용액의 예입니다. 웨이브 방정식의 솔루션은 u(x, 0)=f(x)함수로 시작하여 이를 변환하여 u(x, t)=f(x-g)로 얻을 수 있습니다.
이 솔루션은 앞에서 설명한 기본 및 조화 모드와 전혀 유사하지 않습니다. 그러나, 만약 우리가 죄(a+b)=죄 acosb+sinbconsionarya, 우리는 조화 모드를 다시 쓸 수 있다
진동하는 문자열에 있는 정지 파장은 f(x-는)=(1/2)죄 k(x-1)및 g(x+[1/2)죄(1/2)k)를 선택하여 두 이동 파장의 합입니다. 초기 모양이 삼각형일 때 진동하는 끈 문제의 해결책을 만들기 위해 오일러가 사용했습니다.
두번째 중요한 결과는 진동하는 문자열의 일반적인 용액이 증가하는 모드 번호 k에서 조화 모드의 무한한 합으로 기록될 수 있다는 것이다. 1753년 DanielBernoulli는 일반적인 솔루션을 무한 시리즈로 작성할 것을 제안했다.
각 모드는 빌딩 블록이며, 적절히 추가하면 일반 솔루션을 구성할 수 있습니다. 함수의 무한한 합계는 그 당시에 많은 심오한 수학적 질문들을 제기했다. 무한하게 많은 수가 더해 지면 결과는 숫자 그 자체로 나타난다. 즉, 연속물이 수렴되거나(예:N과 같이 커진다) 앙갚음하다 함수는 숫자보다 훨씬 더 복잡한 개체이며, 그 중 무수한 개체가 함께 추가될 때 어떤 일이 일어나는지 분명하지 않다. 나쁜 계수를 평가하는 문제는 결국 1807년 JosephFourier에 의해 해결되었고 이 무한한 시리즈가 정말로 수렴이라는 정확한 수학적 증거가 PeterGusta에 의해 주어졌다. 이 책은 1829년에 사우브루아의 초기 작품이 만들어진 후 130년이 넘는 세월이 흘러입니베는 이 책의 집필 이후 탄압 통나무 철새 일어 성층 아줌마였다.
D/D/m솔루션과 달리, 푸리에가 부분 미분 방정식을 무한한 함수의 합으로 해결하기 위해 제안한 방법은 파동 방정식에 의거해서 그것은 또한 물리학에서 발생하는 많은 다른 선형 문제들을 푸는데 사용될 수 있고, 부분 미분 방정식을 숫자로 푸는 많은 알고리즘의 중심에 있다.
진동하는 문자열의 파형 방정식은 파형 전파를 위한 가장 단순한 모델입니다. 그러나 자연에서 발생하는 대부분의 파동 현상은 진동하는 끈과 공통된 특징을 공유하고, 끈에 대해 개발된 수학적 도구들은 다른 것들을 이해하기 위해 쉽게 이용된다. 전후 관계
