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응용 수학은 단지 모형과 방정식에 관한 것만은 아니다.
그것은 또한 신호와 데이터의 조작과 분석에 관한 것이다.
우리는 엄청난 양의 데이터가 정기적으로 수집, 전송, 처리, 분석, 압축, 암호 해독 및 저장되는 디지털 세계에 살고 있습니다. 좋든 나쁘든 간에, 현대 생활의 많은 측면들은 신호나 데이터의 처리를 포함한다. 효율적인 수학적 방법과 숫자 알고리즘이 없다면 그 어떤 일도 일어나지 않을 것이다.
의학의 중요한 부분은 환자를 눈에 띄지 않게 진단하는 능력이다. 1895년 독일의 물리학자인 빌헬름 렌트겐에 의해 X-레이 방사선 촬영법이 발명된 이래로, 장기와 조직에서 이미지를 얻기 위해 많은 다양한 기술들이 의학 영상에 개발되었습니다. 그들 대부분은 간단한 아이디어에 의존한다. 즉, 파동은 몸을 통해 보내 지고 파동이 떠날 때 검출기에 의해 포착된다. 파동과 체내의 물질과의 상호 작용은 물질의 구성 방식에 대한 중요한 진단 정보를 전달한다. 특히 조직과 장기의 위치와 구성을 제공한다. 핵심 수학 문제는 어떻게 이 정보를 데이터에서 추출하느냐 하는 것이다. 가장 간단한 경우에는 높은 에너지 파장이 몸을 통해 전달되고 그것들의 강도는 몸에서 나올 때 측정된다. 이것은 친숙한 X-레이 기법이다. 물질을 통해 침투하는 탈출하는 파도의 강도는 물질의 원자 번호, 밀도 및 이동 거리에 따라 달라진다. 특히 뼈에서 칼슘의 양이 많아 X-rays에 선명하게 나타납니다.
그림 21에서 이 문제에 대한 매우 이상적인 버전을 볼 수 있습니다. x-y평면에서 도메인 D를 점유하고 있는 표본을 통해 단색의 평파인 이 전송됩니다. 샘플의 각 점(x, y)에서 감쇠 계수μ=μ(x, y)를 정의하며, 이 점을 통과할 때 파형에 의해 손실되는 에너지의 양을 설명합니다. 감쇠 계수는 해당 지점의 재료 밀도와 성분에 따라 달라집니다(예를 들어 리드의 큰 블록이 유입되는 파형을 상당히 감쇠시킬 수 있음). 송신 파장의 강도 Iout은 오른쪽에 있는 검출기로 측정한다. 이론적으로, 우리는 파동이 물질을 통해 기하 급수적으로 감소한다는 것을 알고 있습니다. 명시적으로, Beer-Lambert법에 의해 제공됩니다.
21. 전통적인 X-레이 방사선 촬영. 도메인 D를 통해 X-레이 파형이 전송됩니다. 그것이 몸을 통해 이동할 때, 그것의 강도는 그것이 만나는 물체에 따라 감소한다. X-레이 검출기는 이 그림자를 기록합니다. 컴퓨터 단층 촬영에서는 샘플이 회전하고 다양한 각도에서 X-레이가 기록됩니다.
여기서 L은 y축에서 검출기까지의 거리이며, 도메인 D외부 어디에서나μ(x, y)=0이라고 가정합니다. 이 표현에 나타나는 적분 기호는 단순히 합입니다. 작은 원소들, 이 표현은 파도가 물질을 통과할 때 붕괴의 누적된 영향을 반영한다. 재료가 균일한 경우, 도메인에서μ는 일정하게 유지되며 Iout=enexp(-μl)가 있습니다. 다시 말해, 파도는 도메인의 길이 l과 함께 기하 급수적으로 쇠퇴한다. 일반적으로 소재는 균질 하지 않으며 강도 Iout은 위치 y에 따라 달라진다. 플라톤의 동굴 우화에서처럼, 그 탐지기는 내부 구조의 현실을 파악하는 우리의 능력을 제한하는 물체의 그림자만을 기록한다. 그러나 샘플을 회전시켜 서로 다른 각도에서 일련의 X-레이트를 취하면 샘플에 대한 정보를 얻을 수 있다.
여기서μ(x, y,α)는 동일한 물체의 감쇠 계수이지만α각도로 회전한다. 이러한 수학적 표현들의 세부 사항들은 어렵게 보일 수도 있지만 문제의 구조는 사실 꽤 간단하다. 이를 명확하게 파악하기 위해, 우리는 T를μ에서 Iout함수를 생성하는 수학 연산이라고 하여 이러한 변환을 소형 형태로 작성합니다.
